Propiedades de continuidad para operadores fuertemente singulares.

Abstract

Los operadores fuertemente singulares han sido considerados por diversos autores. Entre ellos, destacan los trabajos de I. I. Hirschman [16], S. Wainger [26], C. Fefferman y E. M. Stein [11], y S. Chanillo en [2]. Estos operadores se caracterizan por poseer un núcleo con una singularidad más pronunciada en la diagonal de Rn x Rn, ∆ = t(x,x) : x P Rnu, en comparación con los correspondientes a los operadores de Calderón-Zygmund (OCZs). Esta particularidad afecta sus propiedades de regularidad y los sitúa fuera del alcance de la teoría clásica. En [2], S. Chanillo desarrolla la teoría Lp(w) para estos operadores, con w en la clase de pesos Ap de B. Muckenhoupt [19]. El enfoque adoptado se basa en la función maximal sharp introducida en [11]. Por otra parte, en [11], C. Fefferman y E. M. Stein demuestran que los operadores fuertemente singulares mapean L∞ en BMO(véase también[28]y[8] para resultados en contextos más generales). Sin embargo, se desconocen resultados similares con pesos para este extremo, siendo esta teoría bien conocida para OCZs. Siguiendo los lineamientos de S. Chanillo, en esta tesina desarrollamos detalladamente la acotación en Lp(w) con 1 < p < 8 para operadores fuertemente singulares. Posteriormente, exploramos un criterio de suficiencia para la acotación con pesos de L∞ en BMO, considerando como espacio de llegada el introducido por B. Muckenhoupt y R. L. Wheeden en [20]. Hasta donde se sabe, este resultado no es conocido en la teoría clásica.